Обозначения: x(t) - входное напряжение, y(t) - выходное напряжение, T=R*C - постоянная времени, w - угловая частота рад/с, w = 2*пи*F.
Будем танцевать от печки и для начала составим исходное диф. уравнение системы относительно выходного напряжения y(t):
T * dy(t)/dt + y(t) = x(t)
Перейдем в частотную область комплексных частот p = (sigma + iw), она же операторная область по-Лапласу. Эта операция - формальная и очень простая: сигналы x(t) и y(t) формально заменяются их спектрами X(p) и Y(p), а оператор дифференцирования формально заменяется умножением на комплексную частоту p. Sigma - это некоторая константа нарастания/затухания, для нас она не существенна, i - это мнимая единица.
T*p*Y(p) + Y(p) = X(p)
Находим коэффициент передачи системы K(p) в области комплексных частот (передаточную функцию). Это отношение Y(p) к X(p):
K(p) = Y(p) / X(p) = 1 / (1 + Tp)
Для получения АЧХ и ФЧХ рассмотрим передаточную функцию в установившемся режиме при sigma = 0. То есть, подставляем в K(p) величину комплексной частоты p=iw и получаем комплексный коэффициент передачи K(iw):
K(iw) = 1 / (1 + i wT)
Здесь в комплексной функции K(iw) спрятаны обе интересующие нас функции - и АЧХ и ФЧХ. Вытащим их оттуда.
АЧХ есть модуль комплексного коэффициента передачи K(iw), т.е. по правилу модуль числителя надо разделить на модуль знаменателя. Сами эти модули вычисляются по правилу треугольника (по-Пифагору) через корень квадратный от суммы квадратов
катетов действительной и мнимой частей:
АЧХ = 1 / SQRT (1 + T**2 * w**2) - это аналитическое выражение для АЧХ.
ФЧХ есть аргумент (фаза) комплексного коэффициента передачи K(iw), то есть, по правилу из агрумента числителя нужно вычесть аргумент знаменателя. Сами аргументы вычисляются по правилу треугольника как арктангенс отношения
катетов мнимой части к действительной:
ФЧХ = arctg (0) - arctg (Tw / 1) = -arctg Tw - это аналитическое выражение для ФЧХ.
Подставляя в формулы АЧХ и ФЧХ разные частоты, получим соответствующие графики.
В частности, если туда подставить частоту w = 1/T = 1/RC, то АЧХ = 1 / корень из двух = 0,707 = -3 дБ. При этом ФЧХ = - 45 град (минус это запаздывание по фазе). Это и есть "частота среза" фильтра. Напоминаю, что w это угловая частота:
w = 2*пи*F.